Volume d'un tétraèdre dans un prisme

Problème adapté d'un sujet de baccalauréat

On considère le prisme droit \(\mathrm{ABFEDCGH}\), de base \(\mathrm{ABFE}\), trapèze rectangle en \(\text A\).

On associe à ce prisme le repère orthonormé \(\left(\text{A}~;\overrightarrow{\imath}, \overrightarrow{\jmath},\overrightarrow{k}\right)\) tel que :  \(\overrightarrow{\imath} = \dfrac14\overrightarrow{\text{AB}}, \overrightarrow{\jmath} = \dfrac14\overrightarrow{\text{AD}}, \overrightarrow{k} = \dfrac18\overrightarrow{\text{AE}}\).

De plus, on a \(\overrightarrow{\text{BF}} = \dfrac12\overrightarrow{\text{AE}}\). On note \(\text I\) le milieu du segment \(\mathrm{[EF]}\) et \(\text J\) le milieu du segment \(\mathrm{[AE]}\).

1. Donner les coordonnées des points \(\text H\), \(\text I\) et \(\text J\).

On note \(\text L\) le projeté orthogonal du point \(\text H\) sur le plan \(\mathrm{(IGJ)}\). On admet que les coordonnées de \(\text L\) sont \(\left(\dfrac83~;~ \dfrac43~;~\dfrac{16}{3}\right)\).
2. Calculer la distance du point \(\text H\) au plan \(\mathrm{(IGJ)}\).
3. Montrer que le triangle \(\mathrm{IGJ}\) est rectangle en \(\text I\).
4. En déduire le volume du tétraèdre \(\mathrm{IGJH}\).